FULLMATE: Límite de f(x) con Valor Absoluto

viernes, 17 de enero de 2014

1) Calcular el siguiente límite: $\displaystyle\lim_{x \to{2}}{}\frac{\left |{x-2}\right |}{x^2-4}$

SOLUCIÓN

* Si evalúo el límite cuando x=2,

obtego: = l 2 - 2 l /(4 - 4) = 0 / 0 , que es indeterminado.

** Por lo tanto debemos levantar esa indeterminación, usamos factorización para simplificar el término que hace cero en el numerador y denominador.

a) como hay un valor absoluto, se cumple que:

$\left |{a}\right |=\begin{Bmatrix} a & \mbox{ si }& a\geq0\\-a & \mbox{si}& a<0\end{matrix}$

b) para: l x - 2 l = x - 2 , x>=2 ó = -(x - 2) , x < 2

c) encontramos los límites laterales:

(2- : es límite por la izquierda y 2+ es límite por la derecha)

$\displaystyle\lim_{x \to{2^+}}{}\frac{\left |{x-2}\right |}{x^2-4}$ = Lim x - 2 = Lim 1 = 1 / 4

x->2+ (x+2)(x-2) x->2+ x+2

$\displaystyle\lim_{x \to{2^-}}{}\frac{\left |{x-2}\right |}{x^2-4}$ = Lim -(x - 2) = Lim -1 = -1 / 4

x->2- (x+2)(x-2) x->2+ x+2

d) como el límite lateral por izquierda de 2 (2^-) y el límite lateral por la derecha de 2 (2^+) son diferentes:

$\Rightarrow{}$ El límite $\displaystyle\lim_{x \to{2}}{}\frac{\left |{x-2}\right |}{x^2-4}$ no existe.

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