¿CÓMO SE CALCULA EL LIMITE DE FUNCIONES?

Muchas veces al estar en clase de Matemática I (presencial o virtual), se aprende lo necesario y es muy importante la RETROALIMENTACIÓN, que consiste dedicar algo más de tiempo (fuera de clase) en repasar las propiedades dadas e intentar solucionar los ejercicios resueltos y propuestos por el docente. Pero, si uno no tiene las herramientas de ayuda o técnicas de solución para resolver los problemas, el alumno se complica  y a veces siente el desgano o desaliento en practicar las matemáticas.

Rescatando lo anterior, les dejo unos videos que serán de gran ayuda para calcular límites de algunas Funciones Racionales o Irracionales.

Espero sus comentarios y recuerden, ..... ¡Esfuerzo, es Éxito!

Saludos;
Ing. Raúl Matos

OPERACIONES CON FUNCIONES

Estimados; les sugiero revisar los temas de funciones que fueron ingresados meses atras (marzo -abril), ahí encontrarán materiales diversos sobre este tema.

Para profundizar sobre las operaciones con funciones le dejo éstos videos de apoyo a la tutoría desarrollada en las clases.

De seguro será provechoso, y estaré atento a sus comentarios y sugerencias.

Saludos;
Ing. Raúl Matos Acuña

P.D. recordarles que deben tener un correo en google o gmail para tener acceso y dejar sus comentarios.

APLICACIONES DE LA DERIVADA

CRECIMIENTO- DECRECIMIENTO Y OPTIMIZACIÓN (MÁXIMOS Y MÍNIMOS)

EJERCICIOS RESUELTOS
1. Un fondo de inversión genera una rentabilidad que depende de la cantidad de dinero invertida, según la formula: R(x)=-0.002x²+0.8x-5 donde R(x) representa la rentabilidad generada cuando se invierte la cantidad x. Determinar, teniendo en cuenta que disponemos de 500 euros:

a) Cuando aumenta y cuando disminuye la rentabilidad

b) Cuanto dinero debemos invertir para obtener la máxima rentabilidad posible.

c) Cual será el valor de dicha rentabilidad.

Solución

a) La derivada primera nos da el crecimiento o decrecimiento de la función. Si la derivada es positiva la función crece y si es negativa decrece.

Procedimiento:

-Se deriva la función:

R´(x)=-0,004x+0,8

-Se iguala a 0 y se resuelve la ecuación que resulta:

R´(x)=0 ,

-Se estudia el signo de la derivada a la derecha e izquierda de los valores que nos ha dado 0 la derivada (en este caso x =200). Hay varios métodos, uno muy mecánico:

f

<>                                                      I

<>

       f´                        +                200              -

se coge un punto menor que 200, por ejemplo 100, y sustituimos R´(100) = 0,4 > 0 y en otro mayor que 200 (por ejemplo 300) R´(300) = -0,4 < 0.

Entonces la derivada es positiva en el intervalo (0, 200), y f es creciente en ese intervalo y es decreciente en (200, 500) ya que en ese intervalo nos ha dado negativa la derivada. Lo que nos dice también que en punto 200 hay un máximo local

b) Teniendo en cuenta el apartado a debemos invertir 200 euros.

c) La máxima rentabilidad es R(200)= -0,002x(200)²+0,8x200-5 = 75 euros.

Solución gráfica

5. La virulencia de cierta bacteria se mide en una escala de 0 a 50 y viene expresada por la función V(t)= 40+15t-9t²+t³, donde t es el tiempo(en horas) transcurrido desde que comienzo en estudio (t=0). Indicar los instantes de máxima y mínima virulencia en las 6 primeras horas y los intervalos en que esta crece y decrece.

Solución

Para que la función tenga un máximo o un mínimo la derivada debe ser cero.
V´(t)= 15-18t+3t², igualando a 0, 3t²-18t+15=0

Simplificando t²-6t+5=0, cuyas soluciones son 5 y 1.

Ahora voy a ver quien es el máximo y quien el mínimo de la función, en el intervalo [0, 6], que tiene que estar entre estos dos valores junto o en los extremos del intervalo (por el teorema de Weirtrars).

Ordenamos la función V por comodidad, V(t)= t³-9t²+15t+40
V(0)=40                      ;    V(5)=125-225+75+40 =15
V(1)=1-9+15+40= 47    ;    V(6)=216-324+90+40=22

La máxima virulencia es a las 1 horas y la mínima a las 5 horas.

Para ver los intervalos de crecimiento y decrecimiento estudiamos el signo de la derivada: V’(t)=3t²-18t+15

          0          1               5          6

V’         +        0       -      0      +

Luego V crece desde 0 a 1 y desde 5 a 6, (crece en <0,1> U <5,6>) y decrece en el intervalo <1,5>

Observando la gráfica de esta función vemos lo q hemos deducido.

Les sugiero revisar el siguiente link en la que encontrarán mas aplicaciones de la derivada.

http://carmesimatematic.webcindario.com/optimacion.htm 

Saludos



EJERCICIOS DE DERIVADAS: IMPLÍCITAS, MAXIMOS Y MINIMOS

Estimados, les estoy publicando algunos videos que ayudarán a reforzar lo estudiado en las tutorías de Matemática I, son relacionados a las DERIVADAS, como derivadas implícitas, criterios para hallar el máximo y mínimo de una función y otros.

Espero sea provechosa para su mejor aprendizaje y muchos éxitos en sus exámens finales, saludos,
Ing. Raúl Matos

EJERCICIOS DE DERIVADAS

En estos videos se muestran las técnicas de resolver las derivadas de un producto y de un cociente de funciones, y también el uso de derivación por regla de la cadena, aplicada a funciones compuestas.

Espero sea de su agrado, en beneficio de su mejor aprendizaje, ya que es un complemento a las tutorías de clase.

Saludos;
Ing. Raúl Matos

REGLAS DE DERIVACIÓN Y DE LA CADENA

Estimados alumnos; en este tutorial se muestra las reglas de derivación, propiedades de la derivada (operaciones) y regla de la cadena.

Reglas de derivación

Sean a, b y k constantes (números reales) y consideremos a: u y v como funciones.

Derivada de una constante   

Derivada de x      

Derivada de la función lineal     

Derivada de una potencia      

Derivada de una raíz cuadrada     

Derivada de una raíz      

Derivada de la función exponencial       

Derivada de la función exponencial de base e      

Derivada de un logaritmo       

Derivada de un logaritmo neperiano      

Ejemplos de derivadas:

        

    

       

          

          

            

    

         

        

          

                  

       

        

        

                                           

Regla de la cadena

                         

Ejemplos de derivadas:

         

              

         

Les sugiero revisar los siguientes link en la que se detalla con amplitud, los temas sobre derivadas antes descrito.

http://www.vitutor.com/fun/4/b_1.html

http://www.vitutor.com/fun/4/b_2.html

http://www.vitutor.com/fun/4/b_3.html

http://www.vitutor.com/fun/4/b_4.html

http://www.vitutor.com/fun/4/b_5.html

http://www.vitutor.com/fun/4/b_7.html

Esperando sea el complemento a las tutorías de clase y dispuesto a absolver sus dudas;

Saludos; Ing. Matos.

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN A TROZOS

Estimados alumnos, les muestro la forma de ¿Cómo hallar el valor de una constante para que una función en trozos sea continua?

Esperando sea de su agrado el video anterior, les invito a participar con sus comentarios y dudas los cuales serán absueltos en las tutorías de clase o en este blog.

Cuidense y recuerden, ...¡ESFUERZO ES ÉXITO!;

Ing. Matos

CONTINUIDAD EN UN PUNTO

Estimados alumnos, en el video van a apreciar una forma de comprobar si una función es continua en un punto, y cuando una función con dominio partido es discontinua.

Se analiza los tres (3) pasos para demostrar que una función es continua en un punto dado.

Con aprecio;
Ing. Matos

CONTINUIDAD - EJERCICIOS

Estimados alumnos, en este link pueden poner a prueba lo aprendido en la tutoría de Matemática I, el tema es CONTINUIDAD.


http://www.vitutor.com/fun/3/b_a.html

Espero tengan la disposición para resolver tales ejercicios y si se presentara alguna dificultad, estaré gustoso de atender sus inquietudes y dudas. Ánimo, Tú puedes...

Saludos;
Ing. Matos

TUTORÍA DE CONTINUIDAD

Estimados alumnos en este link encontrarán ejercicios resueltos y propuestos sobre Límites y Continuidad de funciones.

http://www.vitutor.com/fun/3/b_a.html

No duden en consultar y/o comentar esta información, espero lo revisen y practiquen. ¡Tú puedes!

Saludos;
Raúl

Otro video sobre Límites, en esta parte se usa la técnica de factorización y la racionalización. Se detalla de una manera sencilla y práctica que espero lo puedan entender y practicar los ejercicios propuestos en sus ayudas de la tutoría.

Saludos y éxito en sus exámenes parciales de este mes.

LIMITES DE f(x) CUANDO x TIENDE A INFINITO

En este video se muestra el cálculo del límite de una función cuando x tiende a infinito.

Saludos

EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE LÍMITES DE FUNCIONES

Estimados alumnos, en este link podrán encontrar ejercicios resueltos sobre Límites de Funciones, se muestra la variedad de técnicas y aplicación de propiedades de los límites.

http://docencia.udea.edu.co/ingenieria/calculo/pdf/2.4.1.pdf


Con esfuerzo lograrás mejores resultados en tu vida;
Saludos

ASÍNTOTAS DE UNA FUNCIÓN

Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables (x o y) tienden al infinito.

Una definición más formal es:

DEFINICIÓN

Si un punto (x,y) se desplaza continuamente por una función y=f(x) de tal forma que, por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la distancia entre ese punto y una recta determinada tiende a cero, esta recta recibe el nombre de asíntota de la función.

Las asíntotas se clasifican en:

1. Asíntotas verticales

1. (paralelas al eje OY)
   Si existe un número “a” tal, que :
   La recta “x = a” es la asíntota vertical.

... pueden visualizar el siguiente link:

  http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0295-01/punto8/punto8.html    ,  donde encontrarán mayor referencia sobre límites, así como ejercicios sobre ellos.

Saludos