FULLMATE: 2014

miércoles, 19 de marzo de 2014

REGLA DE L' HOSPITAL

Estimados, hay diversos casos de evaluar los límites de una función que son fácil de obtener, los cuales han sido tratados en las clase tales como: límites algebraicos, racionales, irracionales, exponenciales, trigonométricos, así como los límites infinitos y al infinito. Pero hay ciertos casos en las que no podemos evaluar directamente los límites por que nos da una indeterminación sea: $\frac{0}{0}$ , $\frac{\infty }{\infty }$ , $1^{\infty }$ , $0^{0}$ , $\infty -\infty$ , ....
En los casos donde se obtenga las indeterminaciones como: $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty }{\infty }$ , se puede determinar su valor usando la regla de L' Hospital, que nos proporciona la forma de evaluar límites en forma indeterminada (como $\frac{f(x)}{g(x)}$ que al evaluar nos da $\frac{0}{0}$ ) aplicando la derivada en ambas expresiones $\frac{f'(x)}{g'(x)}$ hasta levantar dicha indeterminación.

* Encontrar los siguientes límites:

1) límite

SOL:

SOL:

Esperando que estos ejercicios se un complemento a su aprendizaje me sentiré alegre de haberlos ayudado.

Saludos,
Raúl

CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA

Muchas veces nos encontramos con algunas funciones en la que es necesario conocer su gráfica y otras en las cuales es difícil poder graficar. En este último caso, el uso del criterio de la primera derivada de la función nos ayuda ha encontrar los valores donde la función toma un valor mínimo o máximo, los cuales nos permite encontrar los valores y puntos críticos, que también son llamados extremos locales o relativos.

En esta ocasión les muestro cómo encontrara los puntos críticos (P. Cr.).

* Sea la función:

   $f(x) = x.e^{-2x}$ ,
a) encontrar los puntos críticos de f.
b) determine los crecimientos y decrecimientos de f.

Solución:
Primero encontramos la derivada:

   $f'(x) = 1.e^{-2x}+ x.(-2).e^{-2x}$

a) esta derivada se iguala a cero (para encontrar los P. Cr.):

   $e^{-2x}-2x.e^{-2x}=0$

   $e^{-2x}(1 - 2x)=0$

cómo sabemos que la función $e^{-2x}$ no puede ser cero, ya que su gráfica se aproxima a cero cuando "x" tiene al infinito, por lo tanto:

$1 - 2x = 0$ ,
de donde resulta que:    $x = \frac{1}{2}$ , y el punto crítico será:    $(\frac{1}{2},\frac{1}{2e})$ .

b) analizando los signos de la 1ra. derivada podemos obtener los intervalos de crecimientos:

f ' : ____+__________-_____
x : 1/2

De lo anterior se deduce que:
- para x < 1/2 la derivada (f ') es (+), entonces la función es creciente, y
- para x > 1/2 la derivada (f ') es (-), entonces la función es decreciente.

Por lo tanto, en x = 1/2 hay un valor máximo relativo.

Esperando sus comentarios, saludos,

Raúl

martes, 18 de febrero de 2014

Cómo Derivar y = f(x), en forma Implìcita

Estimados les dejo algunos ejercicios que usan la forma Implícita.

1) Hallar y' en forma implícita si:
x^3.y - x.y^3 = e^x . sen y

SOLUCIÓN:
a) aplicamos la fórmula: f' = y' = - [F'x ] / [F'y ] ;

primero debemos ordenar y definir F(x,y) = 0 :
F(x,y) = x^3.y - x.y^3 - e^x . sen y = 0

y' = - [y. 3x^2 - y^3 - e^x .seny ] / [x^3 - x.3y^2 - e^x . cos y ]

y' = [ y^3 + e^x .seny - y. 3x^2 ] / [x^3 - x.3y^2 - e^x . cos y ]

Espero sus comentarios

RMA

viernes, 17 de enero de 2014

Límite de f(x) con Valor Absoluto

1) Calcular el siguiente límite: $\displaystyle\lim_{x \to{2}}{}\frac{\left |{x-2}\right |}{x^2-4}$

SOLUCIÓN

* Si evalúo el límite cuando x=2,

obtego: = l 2 - 2 l /(4 - 4) = 0 / 0 , que es indeterminado.

** Por lo tanto debemos levantar esa indeterminación, usamos factorización para simplificar el término que hace cero en el numerador y denominador.

a) como hay un valor absoluto, se cumple que:

$\left |{a}\right |=\begin{Bmatrix} a & \mbox{ si }& a\geq0\\-a & \mbox{si}& a<0\end{matrix}$

b) para: l x - 2 l = x - 2 , x>=2 ó = -(x - 2) , x < 2

c) encontramos los límites laterales:

(2- : es límite por la izquierda y 2+ es límite por la derecha)

$\displaystyle\lim_{x \to{2^+}}{}\frac{\left |{x-2}\right |}{x^2-4}$ = Lim x - 2 = Lim 1 = 1 / 4

x->2+ (x+2)(x-2) x->2+ x+2

$\displaystyle\lim_{x \to{2^-}}{}\frac{\left |{x-2}\right |}{x^2-4}$ = Lim -(x - 2) = Lim -1 = -1 / 4

x->2- (x+2)(x-2) x->2+ x+2

d) como el límite lateral por izquierda de 2 (2^-) y el límite lateral por la derecha de 2 (2^+) son diferentes:

$\Rightarrow{}$ El límite $\displaystyle\lim_{x \to{2}}{}\frac{\left |{x-2}\right |}{x^2-4}$ no existe.

miércoles, 15 de enero de 2014

LÍMITES CON FRACCIONES Y LIMITES TRIGONOMETRICOS

Estimados,
Hay varias formas de poder determinar el valor del límite de una función, en esta parte les sugiero revisar estos ejercicios que son comunes encontrar en algunos exámenes, prácticas o ejercicios desarrollados por el docente en clase o tutoría y que tal vez el estudiante no lo comprendió.

Ejercicios Prácticos:

1) Límites de f(x) con valor absoluto
http://matematik1-dued.blogspot.com/2014/01/limite-con.html

2) Límites de f(x) con radicales

3) Límites trigonométricos

Espero sea provechoso para tu mejor aprendizaje y estaré atento a tus comentarios.

Saludos

sábado, 4 de enero de 2014

PRACTICA: DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN

En esta oportunidad voy a solucionar un ejercicio de Funciones, cómo determinar el dominio y rango de una función?

Sea la función y = f(x) tal que:

y = x – 3 + 2/(x+1) ; determinar el dominio y rango de “f”.

SOL.:

Primero reescribo la función, haciendo m.c.m. (mínimo) en el 2do miembro de la igualdad.

y = (x^2 – 2x – 1)/(x + 1) …. (1)

a) Dominio: el denominador no puede ser cero en y = f(x).

x +1 ≠ 0

x ≠ -1 ó x Є R – {-1}

b) Rango: el denominador no puede ser cero en x = g(y).

De la ec. (1), despejo la variable “x” en función de “y”:

x.y + y = x^2 – 2x – 1

x^2 – x(2 + y) – (1 + y) = 0

Usando la fórmula general:

x = [(2+y) ± Ö((2+y)^2 – 4(1)(-1–y))] / 2(1)

Luego, existe la raíz si el discriminante (D) es mayor que cero, así:

D = (2+y)^2 – 4(1)(-1–y) ≥ 0

Desarrollando nos queda:

4 + 4y + y^2 + 4 + 4y ≥ 0

y^2 + 8y + 8 ≥ 0

Por lo tanto:

y Є <-¥,-4 – 2Ö2] U [-4 + 2Ö2,¥>

Espero sea en beneficio de su aprendizaje y una buena referencia para todos los visitantes.

Raúl

ECUACIONES TRIGONOMÈTRICAS INVERSAS

En esta parte voy a solucionar un ejercicio de ecuación trigonométrica que considera la función inversa, esto es, si me dicen que:

1) sen B = 1/2 , siendo el ángulo B agudo (B e Ic)
    B = arcsen(1/2) = 30º = π/6 rad

2) cos A = 1/2 , siendo el ángulo A agudo positivo (A e Ic) ó negativo (A e IV)
    A = arccos(1/2) = 60º = π/6 rad
ó
    A= arccos(1/2) = -60º = - π/6 rad
Recordar que:
sen [arcsen(1/2)] = 1/2
cos [arccos(-/3)] = -/3
sen (x) = a , entonces cos (x) = -/(1 - a^2)
cos (x) = b , entonces sen (x) = -/(1 - b^2)
sen (A + B) = senA.cosB + cosA.senB
x^2 = a , entonces x = +- a

Problema
Resolver: Arccos x + Arcsen (2x) = π/6
Solución: hacemos A + B = 30º y tomamos a ambos lados la función seno
                      sen(A+B) = sen 30º
                senA.cosB + cosA.senB = 1/2   ..... (1)

si: cos A = cos[arccos(x)] = x , entonces sen A = -/(1 - x^2)
si: sen B = sen[arcsen(2x)] = 2x, entonces cos B = -/(1 - 4.x^2)

reemplazo en la ec. (1):
         -/(1 - x^2).-/(1 - 4.x^2) + x(2x) = 1/2
        -/(1 - 5.x^2 + 4.x^4) = (1 - 4.x^2) / 2
elevando al cuadrado:
        4(1 - 5.x^2 + 4.x^4) = 1 - 8.x^2 + 16.x^4
reduciendo:
       12.x^2 = 3
       x^2 = 1/4

(* siendo "x" un número real)
por lo tanto:
      x1 = 1/2 o x2 = -1/2

* al reemplazar (según la parte (2) líneas arriba) en la ec. original, comprobamos que ambos verifican la igualdad.

Espero sea de utilidad para todos los visitantes.

BIENVENIDOS

miércoles, 19 de marzo de 2014

martes, 18 de febrero de 2014

viernes, 17 de enero de 2014

miércoles, 15 de enero de 2014

sábado, 4 de enero de 2014