Estimados, hay diversos casos de evaluar los límites de una función que son fácil de obtener, los cuales han sido tratados en las clase tales como: límites algebraicos, racionales, irracionales, exponenciales, trigonométricos, así como los límites infinitos y al infinito. Pero hay ciertos casos en las que no podemos evaluar directamente los límites por que nos da una indeterminación sea: , , , , , ....
En los casos donde se obtenga las indeterminaciones como: o , se puede determinar su valor usando la regla de L' Hospital, que nos proporciona la forma de evaluar límites en forma indeterminada (como que al evaluar nos da ) aplicando la derivada en ambas expresiones hasta levantar dicha indeterminación.
* Encontrar los siguientes límites:
1)
SOL:
2)
SOL:
3)
SOL:
4)
SOL:
5)
SOL:
Esperando que estos ejercicios se un complemento a su aprendizaje me sentiré alegre de haberlos ayudado.
Saludos,
Raúl
FULLMATE
Las aplicaciones de las matemáticas en el día a día son inmensas. Solamente tienes que mirar a tu alrededor y abrir los ojos, descubrirás para qué sirve esa ciencia para la que no encontrabas ninguna utilidad próxima a ti.
BIENVENIDOS
En este blog encontrarás materiales adicionales necesarios para profundizar sobre la matemática superior, que serán complementarios en el desarrollo del curso de Matemática I
miércoles, 19 de marzo de 2014
CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA
Muchas veces nos encontramos con algunas funciones en la que es necesario conocer su gráfica y otras en las cuales es difícil poder graficar. En este último caso, el uso del criterio de la primera derivada de la función nos ayuda ha encontrar los valores donde la función toma un valor mínimo o máximo, los cuales nos permite encontrar los valores y puntos críticos, que también son llamados extremos locales o relativos.
En esta ocasión les muestro cómo encontrara los puntos críticos (P. Cr.).
* Sea la función:
,
a) encontrar los puntos críticos de f.
b) determine los crecimientos y decrecimientos de f.
Solución:
Primero encontramos la derivada:
a) esta derivada se iguala a cero (para encontrar los P. Cr.):
cómo sabemos que la función no puede ser cero, ya que su gráfica se aproxima a cero cuando "x" tiene al infinito, por lo tanto:
,
de donde resulta que: , y el punto crítico será: .
b) analizando los signos de la 1ra. derivada podemos obtener los intervalos de crecimientos:
f ' : ____+__________-_____
x : 1/2
De lo anterior se deduce que:
- para x < 1/2 la derivada (f ') es (+), entonces la función es creciente, y
- para x > 1/2 la derivada (f ') es (-), entonces la función es decreciente.
Por lo tanto, en x = 1/2 hay un valor máximo relativo.
Esperando sus comentarios, saludos,
Raúl
,
a) encontrar los puntos críticos de f.
b) determine los crecimientos y decrecimientos de f.
Solución:
Primero encontramos la derivada:
a) esta derivada se iguala a cero (para encontrar los P. Cr.):
cómo sabemos que la función no puede ser cero, ya que su gráfica se aproxima a cero cuando "x" tiene al infinito, por lo tanto:
,
de donde resulta que: , y el punto crítico será: .
b) analizando los signos de la 1ra. derivada podemos obtener los intervalos de crecimientos:
f ' : ____+__________-_____
x : 1/2
De lo anterior se deduce que:
- para x < 1/2 la derivada (f ') es (+), entonces la función es creciente, y
- para x > 1/2 la derivada (f ') es (-), entonces la función es decreciente.
Por lo tanto, en x = 1/2 hay un valor máximo relativo.
Esperando sus comentarios, saludos,
Raúl
martes, 18 de febrero de 2014
Cómo Derivar y = f(x), en forma Implìcita
Estimados les dejo algunos ejercicios que usan la forma Implícita.
1) Hallar y' en forma implícita si:
x^3.y - x.y^3 = e^x . sen y
SOLUCIÓN:
a) aplicamos la fórmula: f' = y' = - [F'x ] / [F'y ] ;
primero debemos ordenar y definir F(x,y) = 0 :
F(x,y) = x^3.y - x.y^3 - e^x . sen y = 0
y' = - [y. 3x^2 - y^3 - e^x .seny ] / [x^3 - x.3y^2 - e^x . cos y ]
y' = [ y^3 + e^x .seny - y. 3x^2 ] / [x^3 - x.3y^2 - e^x . cos y ]
Espero sus comentarios
RMA
1) Hallar y' en forma implícita si:
x^3.y - x.y^3 = e^x . sen y
SOLUCIÓN:
a) aplicamos la fórmula: f' = y' = - [F'x ] / [F'y ] ;
primero debemos ordenar y definir F(x,y) = 0 :
F(x,y) = x^3.y - x.y^3 - e^x . sen y = 0
y' = - [y. 3x^2 - y^3 - e^x .seny ] / [x^3 - x.3y^2 - e^x . cos y ]
y' = [ y^3 + e^x .seny - y. 3x^2 ] / [x^3 - x.3y^2 - e^x . cos y ]
Espero sus comentarios
RMA
viernes, 17 de enero de 2014
Límite de f(x) con Valor Absoluto
1) Calcular el siguiente límite:
SOLUCIÓN
* Si evalúo el límite cuando x=2,
obtego: = l 2 - 2 l /(4 - 4) = 0 / 0 , que es indeterminado.
** Por lo tanto debemos levantar esa indeterminación, usamos factorización
para simplificar el término que hace cero en el numerador y denominador.
a) como hay un valor absoluto, se cumple que:
b) para: l x - 2 l = x - 2 , x>=2 ó = -(x -
2) , x < 2
c) encontramos los límites laterales:
(2- : es límite por la izquierda y 2+ es límite por la
derecha)
=
Lim x - 2
= Lim 1 = 1 / 4
x->2+ (x+2)(x-2) x->2+
x+2
= Lim
-(x - 2) = Lim
-1 = -1 / 4
x->2- (x+2)(x-2) x->2+ x+2
d) como el límite lateral por izquierda de 2 (2^-) y el límite lateral por la derecha de 2 (2^+) son diferentes:
d) como el límite lateral por izquierda de 2 (2^-) y el límite lateral por la derecha de 2 (2^+) son diferentes:
El límite no existe.
miércoles, 15 de enero de 2014
LÍMITES CON FRACCIONES Y LIMITES TRIGONOMETRICOS
Estimados,
Hay varias formas de poder determinar el valor del límite de una función, en esta parte les sugiero revisar estos ejercicios que son comunes encontrar en algunos exámenes, prácticas o ejercicios desarrollados por el docente en clase o tutoría y que tal vez el estudiante no lo comprendió.
Ejercicios Prácticos:
1) Límites de f(x) con valor absoluto
http://matematik1-dued.blogspot.com/2014/01/limite-con.html
2) Límites de f(x) con radicales
3) Límites trigonométricos
Espero sea provechoso para tu mejor aprendizaje y estaré atento a tus comentarios.
Saludos
Hay varias formas de poder determinar el valor del límite de una función, en esta parte les sugiero revisar estos ejercicios que son comunes encontrar en algunos exámenes, prácticas o ejercicios desarrollados por el docente en clase o tutoría y que tal vez el estudiante no lo comprendió.
Ejercicios Prácticos:
1) Límites de f(x) con valor absoluto
http://matematik1-dued.blogspot.com/2014/01/limite-con.html
2) Límites de f(x) con radicales
3) Límites trigonométricos
Espero sea provechoso para tu mejor aprendizaje y estaré atento a tus comentarios.
Saludos
sábado, 4 de enero de 2014
PRACTICA: DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN
En esta oportunidad voy a solucionar un ejercicio de Funciones, cómo determinar el dominio y rango de una función?
Sea la función y = f(x) tal que:
y = x – 3 + 2/(x+1) ; determinar el dominio y rango de “f”.
SOL.:
Primero reescribo la función, haciendo m.c.m. (mínimo) en el 2do miembro de la igualdad.
y = (x^2 – 2x – 1)/(x + 1) …. (1)
a) Dominio: el denominador no puede ser cero en y = f(x).
x +1 ≠ 0
x ≠ -1 ó x Є R – {-1}
b) Rango: el denominador no puede ser cero en x = g(y).
De la ec. (1), despejo la variable “x” en función de “y”:
x.y + y = x^2 – 2x – 1
x^2 – x(2 + y) – (1 + y) = 0
Usando la fórmula general:
x = [(2+y) ± Ö((2+y)^2 – 4(1)(-1–y))] / 2(1)
Luego, existe la raíz si el discriminante (D) es mayor que cero, así:
D = (2+y)^2 – 4(1)(-1–y) ≥ 0
Desarrollando nos queda:
4 + 4y + y^2 + 4 + 4y ≥ 0
y^2 + 8y + 8 ≥ 0
Por lo tanto:
y Є <-¥,-4 – 2Ö2] U [-4 + 2Ö2,¥>
Espero sea en beneficio de su aprendizaje y una buena referencia para todos los visitantes.
Raúl
ECUACIONES TRIGONOMÈTRICAS INVERSAS
En esta parte voy a solucionar un ejercicio de ecuación trigonométrica que considera la función inversa, esto es, si me dicen que:
1) sen B = 1/2 , siendo el ángulo B agudo (B e Ic)
B = arcsen(1/2) = 30º = π/6 rad
2) cos A = 1/2 , siendo el ángulo A agudo positivo (A e Ic) ó negativo (A e IV)
A = arccos(1/2) = 60º = π/6 rad
ó
A= arccos(1/2) = -60º = - π/6 rad
Recordar que:
sen [arcsen(1/2)] = 1/2
cos [arccos(-/3)] = -/3
sen (x) = a , entonces cos (x) = -/(1 - a^2)
cos (x) = b , entonces sen (x) = -/(1 - b^2)
sen (A + B) = senA.cosB + cosA.senB
x^2 = a , entonces x = +- a
Problema
Resolver: Arccos x + Arcsen (2x) = π/6
Solución: hacemos A + B = 30º y tomamos a ambos lados la función seno
sen(A+B) = sen 30º
senA.cosB + cosA.senB = 1/2 ..... (1)
si: cos A = cos[arccos(x)] = x , entonces sen A = -/(1 - x^2)
si: sen B = sen[arcsen(2x)] = 2x, entonces cos B = -/(1 - 4.x^2)
reemplazo en la ec. (1):
-/(1 - x^2).-/(1 - 4.x^2) + x(2x) = 1/2
-/(1 - 5.x^2 + 4.x^4) = (1 - 4.x^2) / 2
elevando al cuadrado:
4(1 - 5.x^2 + 4.x^4) = 1 - 8.x^2 + 16.x^4
reduciendo:
12.x^2 = 3
x^2 = 1/4
(* siendo "x" un número real)
por lo tanto:
x1 = 1/2 o x2 = -1/2
* al reemplazar (según la parte (2) líneas arriba) en la ec. original, comprobamos que ambos verifican la igualdad.
Espero sea de utilidad para todos los visitantes.
1) sen B = 1/2 , siendo el ángulo B agudo (B e Ic)
B = arcsen(1/2) = 30º = π/6 rad
2) cos A = 1/2 , siendo el ángulo A agudo positivo (A e Ic) ó negativo (A e IV)
A = arccos(1/2) = 60º = π/6 rad
ó
A= arccos(1/2) = -60º = - π/6 rad
Recordar que:
sen [arcsen(1/2)] = 1/2
cos [arccos(-/3)] = -/3
sen (x) = a , entonces cos (x) = -/(1 - a^2)
cos (x) = b , entonces sen (x) = -/(1 - b^2)
sen (A + B) = senA.cosB + cosA.senB
x^2 = a , entonces x = +- a
Problema
Resolver: Arccos x + Arcsen (2x) = π/6
Solución: hacemos A + B = 30º y tomamos a ambos lados la función seno
sen(A+B) = sen 30º
senA.cosB + cosA.senB = 1/2 ..... (1)
si: cos A = cos[arccos(x)] = x , entonces sen A = -/(1 - x^2)
si: sen B = sen[arcsen(2x)] = 2x, entonces cos B = -/(1 - 4.x^2)
reemplazo en la ec. (1):
-/(1 - x^2).-/(1 - 4.x^2) + x(2x) = 1/2
-/(1 - 5.x^2 + 4.x^4) = (1 - 4.x^2) / 2
elevando al cuadrado:
4(1 - 5.x^2 + 4.x^4) = 1 - 8.x^2 + 16.x^4
reduciendo:
12.x^2 = 3
x^2 = 1/4
(* siendo "x" un número real)
por lo tanto:
x1 = 1/2 o x2 = -1/2
* al reemplazar (según la parte (2) líneas arriba) en la ec. original, comprobamos que ambos verifican la igualdad.
jueves, 6 de septiembre de 2012
¿CÓMO SE CALCULA EL LIMITE DE FUNCIONES?
Muchas veces al estar en clase de Matemática I (presencial o virtual), se aprende lo necesario y es muy importante la RETROALIMENTACIÓN, que consiste dedicar algo más de tiempo (fuera de clase) en repasar las propiedades dadas e intentar solucionar los ejercicios resueltos y propuestos por el docente. Pero, si uno no tiene las herramientas de ayuda o técnicas de solución para resolver los problemas, el alumno se complica y a veces siente el desgano o desaliento en practicar las matemáticas.
Rescatando lo anterior, les dejo unos videos que serán de gran ayuda para calcular límites de algunas Funciones Racionales o Irracionales.
Espero sus comentarios y recuerden, ..... ¡Esfuerzo, es Éxito!
Saludos;
Ing. Raúl Matos
Rescatando lo anterior, les dejo unos videos que serán de gran ayuda para calcular límites de algunas Funciones Racionales o Irracionales.
Espero sus comentarios y recuerden, ..... ¡Esfuerzo, es Éxito!
Saludos;
Ing. Raúl Matos
OPERACIONES CON FUNCIONES
Estimados; les sugiero revisar los temas de funciones que fueron ingresados meses atras (marzo -abril), ahí encontrarán materiales diversos sobre este tema.
Para profundizar sobre las operaciones con funciones le dejo éstos videos de apoyo a la tutoría desarrollada en las clases.
De seguro será provechoso, y estaré atento a sus comentarios y sugerencias.
Saludos;
Ing. Raúl Matos Acuña
P.D. recordarles que deben tener un correo en google o gmail para tener acceso y dejar sus comentarios.
Para profundizar sobre las operaciones con funciones le dejo éstos videos de apoyo a la tutoría desarrollada en las clases.
De seguro será provechoso, y estaré atento a sus comentarios y sugerencias.
Saludos;
Ing. Raúl Matos Acuña
P.D. recordarles que deben tener un correo en google o gmail para tener acceso y dejar sus comentarios.
viernes, 11 de mayo de 2012
APLICACIONES DE LA DERIVADA
CRECIMIENTO- DECRECIMIENTO Y OPTIMIZACIÓN (MÁXIMOS Y MÍNIMOS)
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Un fondo de inversión genera una rentabilidad que depende de la cantidad de dinero invertida, según la formula: R(x)=-0.002x2+0.8x-5 donde R(x) representa la rentabilidad generada cuando se invierte la cantidad x. Determinar, teniendo en cuenta que disponemos de 500 euros:
a) Cuando aumenta y cuando disminuye la rentabilidad
b) Cuanto dinero debemos invertir para obtener la máxima rentabilidad posible.
c) Cual será el valor de dicha rentabilidad.
Solución
a) La derivada primera nos da el crecimiento o decrecimiento de la función. Si la derivada es positiva la función crece y si es negativa decrece.
Procedimiento:
-Se deriva la función:
R´(x)=-0,004x+0,8
-Se iguala a 0 y se resuelve la ecuación que resulta:
R´(x)=0 ,
-Se estudia el signo de la derivada a la derecha e izquierda de los valores que nos ha dado 0 la derivada (en este caso x =200). Hay varios métodos, uno muy mecánico:
f |
se coge un punto menor que 200, por ejemplo 100, y sustituimos R´(100) = 0,4 > 0 y en otro mayor que 200 (por ejemplo 300) R´(300) = -0,4 < 0.
Entonces la derivada es positiva en el intervalo (0, 200), y f es creciente en ese intervalo y es decreciente en (200, 500) ya que en ese intervalo nos ha dado negativa la derivada. Lo que nos dice también que en punto 200 hay un máximo local
b) Teniendo en cuenta el apartado a debemos invertir 200 euros.
c) La máxima rentabilidad es R(200)= -0,002x(200)2+0,8x200-5 = 75 euros.
Solución gráfica
5. La virulencia de cierta bacteria se mide en una escala de 0 a 50 y viene expresada por la función V(t)= 40+15t-9t2+t3, donde t es el tiempo(en horas) transcurrido desde que comienzo en estudio (t=0). Indicar los instantes de máxima y mínima virulencia en las 6 primeras horas y los intervalos en que esta crece y decrece.
Solución
Para que la función tenga un máximo o un mínimo la derivada debe ser cero.V´(t)= 15-18t+3t2, igualando a 0, 3t2-18t+15=0
Simplificando t2-6t+5=0, cuyas soluciones son 5 y 1.
Ahora voy a ver quien es el máximo y quien el mínimo de la función, en el intervalo [0, 6], que tiene que estar entre estos dos valores junto o en los extremos del intervalo (por el teorema de Weirtrars).
Ordenamos la función V por comodidad, V(t)= t3-9t2+15t+40V(0)=40 ; V(5)=125-225+75+40 =15
V(1)=1-9+15+40= 47 ; V(6)=216-324+90+40=22
La máxima virulencia es a las 1 horas y la mínima a las 5 horas.
Para ver los intervalos de crecimiento y decrecimiento estudiamos el signo de la derivada: V’(t)=3t2-18t+15
0 1 5 6
V’ + 0 - 0 +
Luego V crece desde 0 a 1 y desde 5 a 6, (crece en <0,1> U <5,6>) y decrece en el intervalo <1,5>
Observando la gráfica de esta función vemos lo q hemos deducido.
Les sugiero revisar el siguiente link en la que encontrarán mas aplicaciones de la derivada.
Saludos
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