APLICACIONES DE LA DERIVADA

CRECIMIENTO- DECRECIMIENTO Y OPTIMIZACIÓN (MÁXIMOS Y MÍNIMOS)

EJERCICIOS RESUELTOS
1. Un fondo de inversión genera una rentabilidad que depende de la cantidad de dinero invertida, según la formula: R(x)=-0.002x²+0.8x-5 donde R(x) representa la rentabilidad generada cuando se invierte la cantidad x. Determinar, teniendo en cuenta que disponemos de 500 euros:

a) Cuando aumenta y cuando disminuye la rentabilidad

b) Cuanto dinero debemos invertir para obtener la máxima rentabilidad posible.

c) Cual será el valor de dicha rentabilidad.

Solución

a) La derivada primera nos da el crecimiento o decrecimiento de la función. Si la derivada es positiva la función crece y si es negativa decrece.

Procedimiento:

-Se deriva la función:

R´(x)=-0,004x+0,8

-Se iguala a 0 y se resuelve la ecuación que resulta:

R´(x)=0 ,

-Se estudia el signo de la derivada a la derecha e izquierda de los valores que nos ha dado 0 la derivada (en este caso x =200). Hay varios métodos, uno muy mecánico:

f

<>                                                      I

<>

       f´                        +                200              -

se coge un punto menor que 200, por ejemplo 100, y sustituimos R´(100) = 0,4 > 0 y en otro mayor que 200 (por ejemplo 300) R´(300) = -0,4 < 0.

Entonces la derivada es positiva en el intervalo (0, 200), y f es creciente en ese intervalo y es decreciente en (200, 500) ya que en ese intervalo nos ha dado negativa la derivada. Lo que nos dice también que en punto 200 hay un máximo local

b) Teniendo en cuenta el apartado a debemos invertir 200 euros.

c) La máxima rentabilidad es R(200)= -0,002x(200)²+0,8x200-5 = 75 euros.

Solución gráfica

5. La virulencia de cierta bacteria se mide en una escala de 0 a 50 y viene expresada por la función V(t)= 40+15t-9t²+t³, donde t es el tiempo(en horas) transcurrido desde que comienzo en estudio (t=0). Indicar los instantes de máxima y mínima virulencia en las 6 primeras horas y los intervalos en que esta crece y decrece.

Solución

Para que la función tenga un máximo o un mínimo la derivada debe ser cero.
V´(t)= 15-18t+3t², igualando a 0, 3t²-18t+15=0

Simplificando t²-6t+5=0, cuyas soluciones son 5 y 1.

Ahora voy a ver quien es el máximo y quien el mínimo de la función, en el intervalo [0, 6], que tiene que estar entre estos dos valores junto o en los extremos del intervalo (por el teorema de Weirtrars).

Ordenamos la función V por comodidad, V(t)= t³-9t²+15t+40
V(0)=40                      ;    V(5)=125-225+75+40 =15
V(1)=1-9+15+40= 47    ;    V(6)=216-324+90+40=22

La máxima virulencia es a las 1 horas y la mínima a las 5 horas.

Para ver los intervalos de crecimiento y decrecimiento estudiamos el signo de la derivada: V’(t)=3t²-18t+15

          0          1               5          6

V’         +        0       -      0      +

Luego V crece desde 0 a 1 y desde 5 a 6, (crece en <0,1> U <5,6>) y decrece en el intervalo <1,5>

Observando la gráfica de esta función vemos lo q hemos deducido.

Les sugiero revisar el siguiente link en la que encontrarán mas aplicaciones de la derivada.

http://carmesimatematic.webcindario.com/optimacion.htm 

Saludos



EJERCICIOS DE DERIVADAS: IMPLÍCITAS, MAXIMOS Y MINIMOS

Estimados, les estoy publicando algunos videos que ayudarán a reforzar lo estudiado en las tutorías de Matemática I, son relacionados a las DERIVADAS, como derivadas implícitas, criterios para hallar el máximo y mínimo de una función y otros.

Espero sea provechosa para su mejor aprendizaje y muchos éxitos en sus exámens finales, saludos,
Ing. Raúl Matos