PRACTICA: DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN

En esta oportunidad voy a solucionar un ejercicio de Funciones, cómo determinar el dominio y rango de una función?

Sea la función  y = f(x) tal que:

                y = x – 3 + 2/(x+1) ; determinar el dominio y rango de “f”.

SOL.:

Primero reescribo la función, haciendo m.c.m. (mínimo) en el 2do miembro de la igualdad.

                y = (x^2 – 2x – 1)/(x + 1)     …. (1)

a) Dominio: el denominador no puede ser cero en y = f(x).

x +1 ≠ 0

x ≠ -1  ó   x Є R – {-1}

b) Rango: el denominador no puede ser cero en x = g(y).

De la ec. (1), despejo la variable “x” en función de “y”:

                x.y + y = x^2 – 2x – 1

                x^2 – x(2 + y) – (1 + y) = 0

Usando la fórmula general:

                x = [(2+y) ± Ö((2+y)^2 – 4(1)(-1–y))] / 2(1)

Luego, existe la raíz si el discriminante (D) es mayor que cero, así:

D = (2+y)^2 – 4(1)(-1–y) ≥ 0

Desarrollando nos queda:

                4 + 4y + y^2 + 4 + 4y ≥ 0

                y^2 + 8y + 8 ≥ 0

Por lo tanto:

                y Є <-¥,-4 – 2Ö2] U [-4 + 2Ö2,¥>

Espero sea en beneficio de su aprendizaje y una buena referencia para todos los visitantes.

Raúl