CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA

Muchas veces nos encontramos con algunas funciones en la que es necesario conocer su gráfica y otras en las cuales es difícil poder graficar. En este último caso, el uso del criterio de la primera derivada de la función nos ayuda ha encontrar los valores donde la función toma un valor mínimo o máximo, los cuales nos permite encontrar los valores y puntos críticos, que también son llamados extremos locales o relativos.

En esta ocasión les muestro cómo encontrara los puntos críticos (P. Cr.).

* Sea la función: 

        ,  
a) encontrar los puntos críticos de f.
b) determine los crecimientos y decrecimientos de f.

Solución:
Primero encontramos la derivada:

      

a) esta derivada se iguala a cero (para encontrar los P. Cr.):

      

      

cómo sabemos que la función    no puede ser cero, ya que su gráfica se aproxima a cero cuando "x" tiene al infinito, por lo tanto:

                 ,
de donde resulta que:    ,  y el punto crítico será:   .

b) analizando los signos de la 1ra. derivada podemos obtener los intervalos de crecimientos:

    f ' :    ____+__________-_____
    x :                      1/2

De lo anterior se deduce que:
  - para  x < 1/2  la derivada (f ') es (+), entonces la función es creciente, y
  - para  x > 1/2  la derivada (f ') es (-), entonces la función es decreciente.

Por lo tanto, en  x = 1/2  hay un valor máximo relativo.

Esperando sus comentarios, saludos,

Raúl