viernes, 17 de enero de 2014

Límite de f(x) con Valor Absoluto

1) Calcular el siguiente límite: $\displaystyle\lim_{x \to{2}}{}\frac{\left |{x-2}\right |}{x^2-4}$

SOLUCIÓN

* Si evalúo el límite cuando x=2,

obtego: = l 2 - 2 l /(4 - 4) = 0 / 0 , que es indeterminado.

** Por lo tanto debemos levantar esa indeterminación, usamos factorización para simplificar el término que hace cero en el numerador y denominador.

a) como hay un valor absoluto, se cumple que:

$\left |{a}\right |=\begin{Bmatrix} a & \mbox{ si }& a\geq0\\-a & \mbox{si}& a<0\end{matrix}$

b) para: l x - 2 l = x - 2 , x>=2 ó = -(x - 2) , x < 2

c) encontramos los límites laterales:

(2- : es límite por la izquierda y 2+ es límite por la derecha)

$\displaystyle\lim_{x \to{2^+}}{}\frac{\left |{x-2}\right |}{x^2-4}$ = Lim x - 2 = Lim 1 = 1 / 4

x->2+ (x+2)(x-2) x->2+ x+2

$\displaystyle\lim_{x \to{2^-}}{}\frac{\left |{x-2}\right |}{x^2-4}$ = Lim -(x - 2) = Lim -1 = -1 / 4

x->2- (x+2)(x-2) x->2+ x+2

d) como el límite lateral por izquierda de 2 (2^-) y el límite lateral por la derecha de 2 (2^+) son diferentes:

$\Rightarrow{}$ El límite $\displaystyle\lim_{x \to{2}}{}\frac{\left |{x-2}\right |}{x^2-4}$ no existe.

miércoles, 15 de enero de 2014

LÍMITES CON FRACCIONES Y LIMITES TRIGONOMETRICOS

Estimados,
Hay varias formas de poder determinar el valor del límite de una función, en esta parte les sugiero revisar estos ejercicios que son comunes encontrar en algunos exámenes, prácticas o ejercicios desarrollados por el docente en clase o tutoría y que tal vez el estudiante no lo comprendió.

Ejercicios Prácticos:

1) Límites de f(x) con valor absoluto
http://matematik1-dued.blogspot.com/2014/01/limite-con.html

2) Límites de f(x) con radicales

3) Límites trigonométricos

Espero sea provechoso para tu mejor aprendizaje y estaré atento a tus comentarios.

Saludos

sábado, 4 de enero de 2014

PRACTICA: DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN

En esta oportunidad voy a solucionar un ejercicio de Funciones, cómo determinar el dominio y rango de una función?

Sea la función y = f(x) tal que:

y = x – 3 + 2/(x+1) ; determinar el dominio y rango de “f”.

SOL.:

Primero reescribo la función, haciendo m.c.m. (mínimo) en el 2do miembro de la igualdad.

y = (x^2 – 2x – 1)/(x + 1) …. (1)

a) Dominio: el denominador no puede ser cero en y = f(x).

x +1 ≠ 0

x ≠ -1 ó x Є R – {-1}

b) Rango: el denominador no puede ser cero en x = g(y).

De la ec. (1), despejo la variable “x” en función de “y”:

x.y + y = x^2 – 2x – 1

x^2 – x(2 + y) – (1 + y) = 0

Usando la fórmula general:

x = [(2+y) ± Ö((2+y)^2 – 4(1)(-1–y))] / 2(1)

Luego, existe la raíz si el discriminante (D) es mayor que cero, así:

D = (2+y)^2 – 4(1)(-1–y) ≥ 0

Desarrollando nos queda:

4 + 4y + y^2 + 4 + 4y ≥ 0

y^2 + 8y + 8 ≥ 0

Por lo tanto:

y Є <-¥,-4 – 2Ö2] U [-4 + 2Ö2,¥>

Espero sea en beneficio de su aprendizaje y una buena referencia para todos los visitantes.

Raúl

ECUACIONES TRIGONOMÈTRICAS INVERSAS

En esta parte voy a solucionar un ejercicio de ecuación trigonométrica que considera la función inversa, esto es, si me dicen que:

1) sen B = 1/2 , siendo el ángulo B agudo (B e Ic)
    B = arcsen(1/2) = 30º = π/6 rad

2) cos A = 1/2 , siendo el ángulo A agudo positivo (A e Ic) ó negativo (A e IV)
    A = arccos(1/2) = 60º = π/6 rad
ó
    A= arccos(1/2) = -60º = - π/6 rad
Recordar que:
sen [arcsen(1/2)] = 1/2
cos [arccos(-/3)] = -/3
sen (x) = a , entonces cos (x) = -/(1 - a^2)
cos (x) = b , entonces sen (x) = -/(1 - b^2)
sen (A + B) = senA.cosB + cosA.senB
x^2 = a , entonces x = +- a

Problema
Resolver: Arccos x + Arcsen (2x) = π/6
Solución: hacemos A + B = 30º y tomamos a ambos lados la función seno
                      sen(A+B) = sen 30º
                senA.cosB + cosA.senB = 1/2   ..... (1)

si: cos A = cos[arccos(x)] = x , entonces sen A = -/(1 - x^2)
si: sen B = sen[arcsen(2x)] = 2x, entonces cos B = -/(1 - 4.x^2)

reemplazo en la ec. (1):
         -/(1 - x^2).-/(1 - 4.x^2) + x(2x) = 1/2
        -/(1 - 5.x^2 + 4.x^4) = (1 - 4.x^2) / 2
elevando al cuadrado:
        4(1 - 5.x^2 + 4.x^4) = 1 - 8.x^2 + 16.x^4
reduciendo:
       12.x^2 = 3
       x^2 = 1/4

(* siendo "x" un número real)
por lo tanto:
      x1 = 1/2 o x2 = -1/2

* al reemplazar (según la parte (2) líneas arriba) en la ec. original, comprobamos que ambos verifican la igualdad.

Espero sea de utilidad para todos los visitantes.

jueves, 6 de septiembre de 2012

¿CÓMO SE CALCULA EL LIMITE DE FUNCIONES?

Muchas veces al estar en clase de Matemática I (presencial o virtual), se aprende lo necesario y es muy importante la RETROALIMENTACIÓN, que consiste dedicar algo más de tiempo (fuera de clase) en repasar las propiedades dadas e intentar solucionar los ejercicios resueltos y propuestos por el docente. Pero, si uno no tiene las herramientas de ayuda o técnicas de solución para resolver los problemas, el alumno se complica y a veces siente el desgano o desaliento en practicar las matemáticas.

Rescatando lo anterior, les dejo unos videos que serán de gran ayuda para calcular límites de algunas Funciones Racionales o Irracionales.

Espero sus comentarios y recuerden, ..... ¡Esfuerzo, es Éxito!

Saludos;
Ing. Raúl Matos

OPERACIONES CON FUNCIONES

Estimados; les sugiero revisar los temas de funciones que fueron ingresados meses atras (marzo -abril), ahí encontrarán materiales diversos sobre este tema.

Para profundizar sobre las operaciones con funciones le dejo éstos videos de apoyo a la tutoría desarrollada en las clases.

De seguro será provechoso, y estaré atento a sus comentarios y sugerencias.

Saludos;
Ing. Raúl Matos Acuña

P.D. recordarles que deben tener un correo en google o gmail para tener acceso y dejar sus comentarios.

viernes, 11 de mayo de 2012

APLICACIONES DE LA DERIVADA

CRECIMIENTO- DECRECIMIENTO Y OPTIMIZACIÓN (MÁXIMOS Y MÍNIMOS)

EJERCICIOS RESUELTOS
1. Un fondo de inversión genera una rentabilidad que depende de la cantidad de dinero invertida, según la formula: R(x)=-0.002x²+0.8x-5 donde R(x) representa la rentabilidad generada cuando se invierte la cantidad x. Determinar, teniendo en cuenta que disponemos de 500 euros:

a) Cuando aumenta y cuando disminuye la rentabilidad

b) Cuanto dinero debemos invertir para obtener la máxima rentabilidad posible.

c) Cual será el valor de dicha rentabilidad.

Solución

a) La derivada primera nos da el crecimiento o decrecimiento de la función. Si la derivada es positiva la función crece y si es negativa decrece.

Procedimiento:

-Se deriva la función:

R´(x)=-0,004x+0,8

-Se iguala a 0 y se resuelve la ecuación que resulta:

R´(x)=0 ,

-Se estudia el signo de la derivada a la derecha e izquierda de los valores que nos ha dado 0 la derivada (en este caso x =200). Hay varios métodos, uno muy mecánico:


f

<> I

f´ + 200 -

se coge un punto menor que 200, por ejemplo 100, y sustituimos R´(100) = 0,4 > 0 y en otro mayor que 200 (por ejemplo 300) R´(300) = -0,4 < 0.

Entonces la derivada es positiva en el intervalo (0, 200), y f es creciente en ese intervalo y es decreciente en (200, 500) ya que en ese intervalo nos ha dado negativa la derivada. Lo que nos dice también que en punto 200 hay un máximo local

b) Teniendo en cuenta el apartado a debemos invertir 200 euros.

c) La máxima rentabilidad es R(200)= -0,002x(200)²+0,8x200-5 = 75 euros.

Solución gráfica

5. La virulencia de cierta bacteria se mide en una escala de 0 a 50 y viene expresada por la función V(t)= 40+15t-9t²+t³, donde t es el tiempo(en horas) transcurrido desde que comienzo en estudio (t=0). Indicar los instantes de máxima y mínima virulencia en las 6 primeras horas y los intervalos en que esta crece y decrece.

Solución

Para que la función tenga un máximo o un mínimo la derivada debe ser cero.
V´(t)= 15-18t+3t², igualando a 0, 3t²-18t+15=0

Simplificando t²-6t+5=0, cuyas soluciones son 5 y 1.

Ahora voy a ver quien es el máximo y quien el mínimo de la función, en el intervalo [0, 6], que tiene que estar entre estos dos valores junto o en los extremos del intervalo (por el teorema de Weirtrars).

Ordenamos la función V por comodidad, V(t)= t³-9t²+15t+40
V(0)=40 ; V(5)=125-225+75+40 =15
V(1)=1-9+15+40= 47 ; V(6)=216-324+90+40=22

La máxima virulencia es a las 1 horas y la mínima a las 5 horas.

Para ver los intervalos de crecimiento y decrecimiento estudiamos el signo de la derivada: V’(t)=3t²-18t+15

0 1 5 6

V’ + 0 - 0 +

Luego V crece desde 0 a 1 y desde 5 a 6, (crece en <0,1> U <5,6>) y decrece en el intervalo <1,5>

Observando la gráfica de esta función vemos lo q hemos deducido.

Les sugiero revisar el siguiente link en la que encontrarán mas aplicaciones de la derivada.

http://carmesimatematic.webcindario.com/optimacion.htm

Saludos

EJERCICIOS DE DERIVADAS: IMPLÍCITAS, MAXIMOS Y MINIMOS

Estimados, les estoy publicando algunos videos que ayudarán a reforzar lo estudiado en las tutorías de Matemática I, son relacionados a las DERIVADAS, como derivadas implícitas, criterios para hallar el máximo y mínimo de una función y otros.

Espero sea provechosa para su mejor aprendizaje y muchos éxitos en sus exámens finales, saludos,
Ing. Raúl Matos

miércoles, 25 de abril de 2012

EJERCICIOS DE DERIVADAS

En estos videos se muestran las técnicas de resolver las derivadas de un producto y de un cociente de funciones, y también el uso de derivación por regla de la cadena, aplicada a funciones compuestas.