FULLMATE: enero 2014

viernes, 17 de enero de 2014

Límite de f(x) con Valor Absoluto

1) Calcular el siguiente límite: $\displaystyle\lim_{x \to{2}}{}\frac{\left |{x-2}\right |}{x^2-4}$

SOLUCIÓN

* Si evalúo el límite cuando x=2,

obtego: = l 2 - 2 l /(4 - 4) = 0 / 0 , que es indeterminado.

** Por lo tanto debemos levantar esa indeterminación, usamos factorización para simplificar el término que hace cero en el numerador y denominador.

a) como hay un valor absoluto, se cumple que:

$\left |{a}\right |=\begin{Bmatrix} a & \mbox{ si }& a\geq0\\-a & \mbox{si}& a<0\end{matrix}$

b) para: l x - 2 l = x - 2 , x>=2 ó = -(x - 2) , x < 2

c) encontramos los límites laterales:

(2- : es límite por la izquierda y 2+ es límite por la derecha)

$\displaystyle\lim_{x \to{2^+}}{}\frac{\left |{x-2}\right |}{x^2-4}$ = Lim x - 2 = Lim 1 = 1 / 4

x->2+ (x+2)(x-2) x->2+ x+2

$\displaystyle\lim_{x \to{2^-}}{}\frac{\left |{x-2}\right |}{x^2-4}$ = Lim -(x - 2) = Lim -1 = -1 / 4

x->2- (x+2)(x-2) x->2+ x+2

d) como el límite lateral por izquierda de 2 (2^-) y el límite lateral por la derecha de 2 (2^+) son diferentes:

$\Rightarrow{}$ El límite $\displaystyle\lim_{x \to{2}}{}\frac{\left |{x-2}\right |}{x^2-4}$ no existe.

miércoles, 15 de enero de 2014

LÍMITES CON FRACCIONES Y LIMITES TRIGONOMETRICOS

Estimados,
Hay varias formas de poder determinar el valor del límite de una función, en esta parte les sugiero revisar estos ejercicios que son comunes encontrar en algunos exámenes, prácticas o ejercicios desarrollados por el docente en clase o tutoría y que tal vez el estudiante no lo comprendió.

Ejercicios Prácticos:

1) Límites de f(x) con valor absoluto
http://matematik1-dued.blogspot.com/2014/01/limite-con.html

2) Límites de f(x) con radicales

3) Límites trigonométricos

Espero sea provechoso para tu mejor aprendizaje y estaré atento a tus comentarios.

Saludos

sábado, 4 de enero de 2014

PRACTICA: DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN

En esta oportunidad voy a solucionar un ejercicio de Funciones, cómo determinar el dominio y rango de una función?

Sea la función y = f(x) tal que:

y = x – 3 + 2/(x+1) ; determinar el dominio y rango de “f”.

SOL.:

Primero reescribo la función, haciendo m.c.m. (mínimo) en el 2do miembro de la igualdad.

y = (x^2 – 2x – 1)/(x + 1) …. (1)

a) Dominio: el denominador no puede ser cero en y = f(x).

x +1 ≠ 0

x ≠ -1 ó x Є R – {-1}

b) Rango: el denominador no puede ser cero en x = g(y).

De la ec. (1), despejo la variable “x” en función de “y”:

x.y + y = x^2 – 2x – 1

x^2 – x(2 + y) – (1 + y) = 0

Usando la fórmula general:

x = [(2+y) ± Ö((2+y)^2 – 4(1)(-1–y))] / 2(1)

Luego, existe la raíz si el discriminante (D) es mayor que cero, así:

D = (2+y)^2 – 4(1)(-1–y) ≥ 0

Desarrollando nos queda:

4 + 4y + y^2 + 4 + 4y ≥ 0

y^2 + 8y + 8 ≥ 0

Por lo tanto:

y Є <-¥,-4 – 2Ö2] U [-4 + 2Ö2,¥>

Espero sea en beneficio de su aprendizaje y una buena referencia para todos los visitantes.

Raúl

ECUACIONES TRIGONOMÈTRICAS INVERSAS

En esta parte voy a solucionar un ejercicio de ecuación trigonométrica que considera la función inversa, esto es, si me dicen que:

1) sen B = 1/2 , siendo el ángulo B agudo (B e Ic)
    B = arcsen(1/2) = 30º = π/6 rad

2) cos A = 1/2 , siendo el ángulo A agudo positivo (A e Ic) ó negativo (A e IV)
    A = arccos(1/2) = 60º = π/6 rad
ó
    A= arccos(1/2) = -60º = - π/6 rad
Recordar que:
sen [arcsen(1/2)] = 1/2
cos [arccos(-/3)] = -/3
sen (x) = a , entonces cos (x) = -/(1 - a^2)
cos (x) = b , entonces sen (x) = -/(1 - b^2)
sen (A + B) = senA.cosB + cosA.senB
x^2 = a , entonces x = +- a

Problema
Resolver: Arccos x + Arcsen (2x) = π/6
Solución: hacemos A + B = 30º y tomamos a ambos lados la función seno
                      sen(A+B) = sen 30º
                senA.cosB + cosA.senB = 1/2   ..... (1)

si: cos A = cos[arccos(x)] = x , entonces sen A = -/(1 - x^2)
si: sen B = sen[arcsen(2x)] = 2x, entonces cos B = -/(1 - 4.x^2)

reemplazo en la ec. (1):
         -/(1 - x^2).-/(1 - 4.x^2) + x(2x) = 1/2
        -/(1 - 5.x^2 + 4.x^4) = (1 - 4.x^2) / 2
elevando al cuadrado:
        4(1 - 5.x^2 + 4.x^4) = 1 - 8.x^2 + 16.x^4
reduciendo:
       12.x^2 = 3
       x^2 = 1/4

(* siendo "x" un número real)
por lo tanto:
      x1 = 1/2 o x2 = -1/2

* al reemplazar (según la parte (2) líneas arriba) en la ec. original, comprobamos que ambos verifican la igualdad.

Espero sea de utilidad para todos los visitantes.

BIENVENIDOS